Среди новых материалов особое место занимают композиционные материалы, обладающие целым комплексом различных свойств, рациональное сочетание которых позволяет получать оптимальные конструкции. Композиционные полимерные материалы широко применяются в химическом и общем машиностроении. Из них изготавливаются различные емкостные аппараты и трубопроводы, работающие в агрессивных средах, зубчатые колеса и т.д.

Сочетание высоких прочностных свойств и минимального удельного веса обуславливает широкое применение композиционных материалов в автомобилестроении и сельскохозяйственном машиностроении, судостроении, в авиационной и ракетно-космической технике.

Экспериментальное определение свойств композиционных материалов с различными схемами армирования требует весьма большого объема дорогостоящих исследований. В связи с этим возникает необходимость построения теоретических моделей композиционных материалов, которые позволили бы определить не только осредненные характеристики, но и описать локальную структуру процессов, происходящих в таких средах под действием связанных полей.

Математическое моделирование физико-механического поведения сильно неоднородной композиционной среды осуществляется с помощью уравнений с быстро меняющимися коэффициентами, которые характеризуют свойства отдельных компонентов материала. Такой подход существенно затрудняет решение соответствующих краевых задач даже при использовании современных компьютеров. С этим связана необходимость создания таких математических моделей, которые приводят к более простым уравнениям с осредненными коэффициентами. При этом, естественно, осредненные уравнения должны быть такими, чтобы решение соответствующей краевой задачи было близким к решению исходной. Опыт показывает, что строгие математические построения часто позволяют более глубоко понять процессы, происходящие в композиционных материалах при их нагружении.

Очень часто современные композиты имеют регулярную или почти регулярную структуру, причем масштаб неоднородности весьма мал по сравнению с размерами тела в целом. В случае композитов регулярной структуры быстро осциллирующие коэффициенты уравнений являются периодическими функциями, и математический анализ этих уравнений может быть проведен на основе асимптотического метода осреднения, разработанного и математически обоснованного в 70-х годах XX века. Математический метод усреднения проверяется доказательством сходимости решений исходной и усредненной задач при стремлении размера периодической ячейки к нулю и полученными оценками этого метода. Использование асимптотического метода усреднения позволяет существенно расширить круг решенных задач для композитов, конструкционно-неоднородных материалов и конструктивных элементов, обладающих регулярной структурой. К их числу относятся задачи теории упругости, теплопроводности, термо- и электроупругости.

Авторы благодарят Ламброса И. Бардзокаса за финансовую поддержку настоящего издания.

Так ответил египетский фараон на требование Моисея отпустить еврейский народ — прекращались поставки соломы, которую добавляли в глину при производстве кирпичей для увеличения их прочности. Библия свидетельствует, таким образом, о широком применении в древнем Египте искусственного композиционного строительного материала. История появления композиционных материалов затеряна в глубине веков, и это не удивительно, ведь человек всегда был окружен природными композитами. К ним относятся древесина, стебли и листья растений, раковины моллюсков, а также кости, мышцы и кровеносные сосуды животных, да и самого человека. При этом биологические композиты, как показывают современные расчеты, сотворены в самых различных отношениях оптимальным образом, а значит, всегда будут служить человеку примером для подражания.

В наше время произошел революционный переворот в строительстве, связанный с появлением таких композиционных материалов, как бетон и железобетон. Современная авиационная и космическая техника немыслима без широкого применения таких композиционных материалов, как стеклопластики, углепластики, боропластики, углерод-углеродные композиты, металлокомпозиты. Производство их растет, себестоимость снижается, а значит, становится перспективным и выгодным использование композитов в транспорте, быту и здравоохранении. Наступивший век станет веком композитов.

Что же такое композиционный материал с точки зрения современной науки? Прежде, чем ответить на этот вопрос, вспомним, что в названии нашей книги говорится о математическом моделировании. Этими словами подчеркивается, что в любой теории речь идет не о самом физическом объекте, а о некоторой его математической модели, более или менее точно описывающей поведение реального объекта.

Всегда важно помнить о гипотезах, положенных в основу модели, и о пределах ее применимости. Так сама гипотеза сплошной среды теряет справедливость, если речь идет об объектах молекулярных размеров, например, о вершине трещины. В упругом теле континуальная модель предсказывает нереальные бесконечные напряжения в вершине трещины при любых самых незначительных нагрузках. Но это означает лишь то, что модель следует дополнить описанием концевой зоны трещины. Построенная модель будет иметь право на существование, если она будет правильно описывать то, что должна описывать. В данном случае это предельные нагрузки, скорости распространения трещины и долговечность тела с трещиной.

Однородной обычно называют среду, одинаковые объемы которой имеют одинаковые свойства. Аморфный материал (например, стекло) очевидно, является однородным в рамках континуального подхода. Технические же сплавы являются поликристаллическими, и возникает вопрос, а можно ли их моделировать однородной сплошной средой. Здесь не существует однозначного ответа, все зависит от того, какую задачу мы решаем. Если необходимо оценить возможность образования микротрещин в стыках зерен, следует решать задачу для неоднородного тела, состоящего из нескольких кристаллических зерен различной ориентации. Но, рассчитывая прогиб стержня от действия определенной силы, мы можем считать стержень однородным. Ошибка от замены реального материала однородной сплошной средой не должна быть существенной, если толщина стержня измеряется сантиметрами, а размеры зерен составляют сотые доли миллиметра.

Подобные проблемы возникают и при расчете элементов конструкций из композиционного материала, например из стеклопластика. Решая задачу о действии внутреннего давления на стеклопластиковую трубу, можно с успехом использовать модель эквивалентной однородной сплошной среды. Анализ же расслоений между волокном и смолой или обрывов волокон проводят, решая задачи об одном или нескольких волокнах, погруженных в однородную среду. Такие приемы напоминают исследования с помощью микроскопа при различных увеличениях и называются, кстати, принципом микроскопа.

Характерной особенностью композиционных материалов является как возможность объединения полезных свойств отдельных компонентов, так и проявление ими новых свойств, отличных от свойств компонентой. Во многих случаях композиционные материалы разрабатываются и создаются одновременно с конструкцией. Это в первую очередь относится к волокнистым однонаправленным и намоточным слоисто-волокнистым материалам. Материалы и конструкции из них изготавливаются одновременно путем непрерывной намотки. Технологические условия процесса намотки определяют возможные проекты изделия, при этом материал формируется так, чтобы наиболее эффективно воспринимать действующие напряжения.

Для композиционных материалов открываются широкие возможности варьирования их физико-механических свойств, а значит

• Композиционные материалы.
• Математические модели композиционных материалов.
• Свойства композиционных материалов.

• Гомогенизация.
• Эффективные постоянные.
• Локальные поля.
• Среда с периодической структурой.

• Метод двухмасштабных разложений.
• Решение обыкновенного дифференциального уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами (нулевое приближение).
• Решение обыкновенного дифференциального уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами (асимптотическое разложение).

• Задача теплопроводности для композиционного материала периодической структуры.
• Расчет температурных полей в неоднородной среде периодической структуры.

• Осреднение уравнений Максвелла для сплошной среды с периодической структурой.
• Уравнения электродинамики для высокочастотного электромагнитного поля в сплошной среде периодической структуры.
• Осреднение уравнений Максвелла для высокочастотного электромагнитного поля в периодической среде.

• Постановка задачи о нагреве композита в электромагнитном поле.
• Решение задачи о нагреве слоистого композита периодической структуры в высокочастотном электромагнитном поле.
• Решение задачи о нагреве слоистой пластинки в высокочастотном электромагнитном поле.

• Мероморфные функции.
• Эллиптические функции.
• Функция Вейерштрасса.
• Квазипериодические функции Вейерштрасса.
• Разложение функций Вейерштрасса в ряды Лорана.
• Построение двоякопериодических решений уравнения Лапласа.
• Построение двоякопериодических решений уравнения Пуассона.

• Постановка задачи о нагреве волокнистого композита в электромагнитном поле.
• Решение задачи электродинамики для волокнистого однонаправленного композита.
• Вычисление эффективных диэлектрических проницаемостей.
• Вычисление удельной плотности источников тепловыделения.
• Решение задачи теплопроводности для волокнистого однонаправленного композита.
• Оценка локальных неоднородностей температурного поля при макрооднородном нагреве.
• Расчет температурных полей при нагреве волокнистой пластики в высокочастотном электромагнитном поле.

• Звуковые волны бесконечно малой амплитуды в идеальной среде.
• Осреднение уравнений акустики идеальной жидкости в периодической среде.
• Расчет скоростей звуковых волн в волокнистом однонаправленном материале с правильной укладкой волокон.

• Уравнение движения вязкой жидкости.
• Осреднение уравнений Стокса в пористом теле с периодической структурой.
• Расчет тензора коэффициентов фильтрации в пористом теле с ортогональной системой капилляров.
• Осреднение уравнений акустики вязкой жидкости в периодической среде.
• Расчет волновых процессов в пористом теле с ортогональной системой капилляров.
• Расчет волновых процессов в пористом теле с волокнистой структурой.

• Осреднение уравнений линейной задачи в теории упругости композиционных материалов периодической структуры.
• Эффективные упругие постоянные и критерии разрушения слоистых композиционных материалов периодической структуры.

• Осреднение нестационарных уравнений термоупругости для композиционных материалов периодической структуры.
• Основные уравнения линейной теории электроупругости.
• Осреднение уравнений электроупругости для композиционных материалов периодической структуры.

• Решение двумерной задачи теплопроводности для тела с волнистой границей.
• Расчет температурных полей в телах с волнистой границей с использованием метода осреднения.
• Осреднение трехмерных уравнений теории упругости для анизотропной пластины переменной толщины с периодической структурой.

• Новые обобщенные интегральные преобразования в осесимметричных краевых задачах механики композитов.
• Композитный цилиндр конечной длины. Обобщенный ряд Фурье-Бесселя.
• Осесимметричный композитный плоский слой. Обобщенное интегральное преобразование Ханкеля.
• Осесимметричный композитный плоский слой с круговым отверстием. Обобщенное интегральное преобразование Вебера-Орра.
• Пример использования обобщенного интегрального преобразования Ханкеля.
• О кручении композиционного цилиндрического вала конечной длины.
• Теплопроводность многослойного композитного клина.
• Обобщенное интегральное преобразование типа Конторовича-Лебедева, используемое при решении граничных задач теории упругости.
• Об обобщенном интегральном преобразовании Конторовича-Лебедева и его применении при решении граничных задач теории упругости и теплопроводности.